dérivée de la fonction zêta

σ − 1 = On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de ζ. ( {\displaystyle {\mathbf {1} }_{Q}} La théorie de la fonction ζ de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. − n ( ( Une formule due à Euler donne pour | t | < 1, Legendre[44] écrit la formule d'Euler sous la forme plus commode numériquement. {\displaystyle {\mathbf {1} }*{\rm {Id}}^{a}*{\rm {Id}}^{b}*{\rm {Id}}^{a+b}=(\sigma _{a}\sigma _{b})*{\rm {Id}}_{Q}^{{\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}}.}. ∞ ∑ = s p La valeur s = 1 est donc une singularité de la fonction. {\displaystyle u=2v} ) ζ i La propriété de convexité impose, dans la bande critique. = Pour les autres zéros, encore hypothétiques, de la forme β + iγ avec β ∈ ]0, 1[, ils sont répartis symétriquement par rapport à l'axe Re(s) = 1/2. Les formes minuscules proviennent de l'onciale grecque, une graphie particulière créée à partir de la majuscule et de la cursive romaine vers le IIIe siècle et adaptée à l'écriture à la plume, et sont créées vers le IXe siècle. ( Cela a un sens puisque ζ(σ) ne s'annule pas sur σ > 1. x d arg 1 s par : avec ln ( Les deux dernières formules sont des cas particuliers de la formule de Ramanujan[11] valable si Re(s) > 1 + max (0, Re(a), Re(b), Re(a + b)) avec Un autre lien existe avec cette fois la fonction de comptage π(x) des nombres premiers inférieurs ou égaux à x : En fait, la position des zéros de la fonction ζ de Riemann fournit la position des nombres premiers. { pour une certaine constante A (voir plus bas). σ i k ∑ ( ln Pour les zéros de l'axe Re(s) = 1/2, la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro considéré par une ligne parallèle à l'axe réel. − π μ Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à ζ. Les conséquences sur le comportement de la fonction ζ sont nombreuses. {\displaystyle \displaystyle {\frac {\zeta '(\sigma +\mathrm {i} t)}{\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)}}} , appelés constantes de Stieltjes ou nombres de Stieltjes, sont donnés par[19] : En particulier, Q On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans Re(s) > 1. = On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction ζ de Riemann. I k . 1 Quant à l'intégrale = Elle n'a donc aucun zéro dans le demi-plan Re(s) = σ > 1. σ k La présence du pôle en 1 empêche toute extension de la presque périodicité au sens de Bohr à un demi-plan plus vaste. s ) {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}=0} D'autre part, les zéros ρ sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes. n ( 1 φ ⁡ ( s x b On montre aussi que la fonction ν(σ) de est la transformation de Mellin[13] de la fonction σ {\displaystyle {\rm {Id}}_{Q}^{a}={\mathbf {1} }_{Q}{\rm {Id}}^{a}}. ∫ }, puisque {\displaystyle C_{1,\nu }} x + ) 1 π 1 k Donc πN(T) est égal à la variation d'argument entre 2 et 2 + iT et de 2 + iT à 1/2 + iT le long des droites. 2 1 On démontre que seuls les zéros à une distance de t inférieure à 1 interviennent vraiment. d d ( La fonction de comptage des nombres premiers est définie par. ∫ Ces deux bornes sont les meilleures possibles : on montre, pour chaque valeur σ, qu'il existe une suite de t tendant vers l'infini ayant cette valeur pour limite de la suite ζ(σ + it). De la définition de la fonction zêta par une intégrale sur ℝ+, on a déduit[22] que pour tout entier naturel n, ζ(–n) est le nombre rationnel suivant : Si n est pair mais non nul, le nombre de Bernoulli Bn + 1 est nul, d'où, avec n = 2k et k > 0 : C'est cette relation que Ramanujan écrivit en 1910 dans un article du Journal of the Indian Mathematical Society sous la forme[23] : La fonction ζ étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. C {\displaystyle -2^{s}{\frac {\zeta (s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }v^{-s-1}\{2v\}\,\mathrm {d} v} donc, On utilise alors la série de Fourier 1 Covid-19 : pourquoi la fonction « Localiser » d'Apple intéresse les développeurs d'applications. ∞ ∗ + {\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2k}\mathrm {d} t=O(1)} Quand on regarde les applications arithmétiques de la fonction ζ, on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions 1/ζ, ζ'/ζ, ou ln ζ mais la fonction ζ elle-même apparaît rarement au numérateur. Q {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} ! On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {s}{s-1}}={\frac {1}{s-1}}+1} Dans ce cas, le za Զ dériverait du zêta. ( {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{x}{\frac {\mu (n)}{n}}\right|<{\frac {K}{\ln x}}} d ∈ n ζ | Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes représentations de la fonction ζ. 1 Q . En mathématiques, la fonction zêtade Riemannest une fonction analytiquecomplexequi est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. I En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. 2 ξ a ζ ∞ Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. = k 1 = La série ne converge pas en s = 1 car on a. qui tend vers l'infini avec m (voir l'article détaillé « Série harmonique » pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). ∗ n ( O ( , ∼ = 2 = 2 Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. , elle est égale, à une constante près, à Pour σ ≥ 1, ν(σ) = 0. 1 | n ⁡ + Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme. s La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction ζ est donnée asymptotiquement par la formule suivante[33] : Cette hypothèse reste pour l'instant non démontrée. {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} D On prend le logarithme du produit. Par exemple, pour calculer en ligne la dérivée du polynôme suivant x3+3x+1 il faut saisir deriver(x3+3x+1), après calcul le résultat 3⋅x2+3est retourné. {\displaystyle \tau ={\mathbf {1} }*{\mathbf {1} }. 1 {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}} Pour cela, on remarque que la fonction. n 1 ν  : cercle de rayon ν et de centre 0, dont l'argument des points croit de 0 à 2π. ∈ ∗ k ∞ . ( I En fait, on montre bien mieux sous l'hypothèse de Riemann car la fonction ln ζ est alors analytique régulière dans le demi-plan Re(s) > 1/2. {\displaystyle \zeta (s)\sim _{1}{\frac {1}{s-1}}} Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas). {\displaystyle k\in \mathbf {N^{*}} } ⁡ d s ( ( − Cela a entre autres pour conséquence immédiate que μ(1/2) = 0. La fonction ζ est presque périodique sur le demi plan Re(s) > 1. On sait qu'elle est également valable pour s = 1 + it avec t  ≠  0. n ζ ∫ ln 1 {\displaystyle a\in \mathbf {C} } Dans l'alphabet cyrillique, le zêta donne naissance à la lettre zé З. Dans l'alphabet copte, la lettre conduit à la lettre zēta ou zata Ⲋ. Il est possible que l'alphabet arménien dérive de l'alphabet grec. On pratique donc également une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques par rapport à l'axe Re(s) = 1/2. On déduit, pour Re(s) > 0, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction êta de Dirichlet pour les points s = 1 + 2ikπ/ln(2), l'expression intégrale : Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. {\displaystyle \gamma _{n}} ) 1 s + Le lien entre la fonction ζ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour Re(s) > 1 : où le produit infini est étendu à l'ensemble C , ce qui montre que la fonction ζ admet un pôle d'ordre 1 en 1 et de résidu 1. On appelle parfois cette formule produit eulérien. 1 π ∗ ∑ est convergente pour Re(s) = 1[note 7]. Le développement de Laurent à l'ordre 0, s . La forme actuelle de la lettre provient de l'alphabet utilisé en Ionie, qui est progressivement adopté par le reste du monde grec antique (Athènes passe un décret formel pour son adoption officielle en 403 av. 1 n Celle-ci provient peut-être de l'alphabet protosinaïtique, une écriture utilisée dans le Sinaï il y a plus de 3 500 ans, elle-même probablement dérivée de certains hiéroglyphes égyptiens ; la lettre phénicienne, zayin, semble signifier « arme ». 1 ) ( I t {\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}} 8 | 1 k R et en utilisant la série binomiale {\displaystyle \qquad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}={\frac {1}{2}}\qquad } n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif – k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme B ) En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan Re(s) > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que. L'application de la formule sommatoire d'Abel donne également. 2 ) , », « L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée ζ' dans le demi-plan σ < 1/2. − En 1899, La Vallée Poussin démontra qu'il existe une constante K telle que ∑ , k ¯ + | − 2 ζ C x sin ) 2 On appelle traditionnellement μ(σ) la borne inférieure des exposants μ tels que |ζ(σ + it)| ≪ tμ.  : pour Re(s) ∈ ]0, 1[. B ) J.-C.). = 2 ). Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès. {\displaystyle {\mathbf {1} }={\mathbf {1} }_{Q}*|\mu |. a { On appelle traditionnellement N(T) le nombre de zéros de la fonction ζ de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale ]0, 1 + iT]. Quand s tend vers – k, Γ(s) ayant un pôle simple en s = – k , ζ(s) est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme : Ainsi, le prolongement méromorphe de ζ à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler[note 5] : La fonction ζ(s) se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale. ν B Cela constitue le théorème de Dirichlet. ( + d n 3 2 + ) ν ), Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné. μ 1 , mais pas en s = 0 par suite du facteur Γ(1 – s). Q 1 L'alphabet étrusque est dérivé de l'alphabet grec employé en Eubée — alphabet que les Étrusques apprennent à Pithécusses (Ischia), près de Cumes. Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction pour les entiers positifs pairs en utilisant l'expression de sous forme de produit infini ; il en a déduit la formule :. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. … {\displaystyle \xi (s)=s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)} On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. = ( a v 1  : demi-droite dont les points ont pour argument 2π, décrite de ν à +∞. {\displaystyle \int _{n}^{\infty }{{\frac {1}{u^{s}}}\mathrm {d} u}} ( i Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de ζ sont sur la droite critique Re(s) = 1/2. B N Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement t La série de Dirichlet étant absolument convergente sur Re(s) > 1, la formule choisie prolonge sur Re(s) > 0. ξ J.-C.. Pour noter les emprunts au grec, les Romains utilisent « s » au début des mots et « ss » au milieu des mots : sōna pour ζώνη (« ceinture »), trapessita pour τραπεζίτης (« banquier »). τ 6 1 D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. ) ( On a ainsi la formule publiée par Edmund Landau : s {\displaystyle \sigma ={\rm {Id}}*{\mathbf {1} }. σ ⁡ , T On y trouvera aussi une preuve élémentaire du théorème de Hadamard-La Vallée Poussin, une preuve du théorème de Dirichlet et la démonstration de la région sans zéro de Vinogradov-Korobov. Dans les recherches sur S(T), on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de S(T) qui reste mystérieux : dont on déduit que la moyenne de S(T) est égale à zéro. Il faut faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros ρ = β + iγ ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement par rapport à 1/2. = = 1 ∞ 1 ∞ ∞ = La fonction ζ admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf 1. T 2 n ( puisque l'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité ⁡ + Les résultats, désormais classiques, sont les suivants : Carlson a montré que, si l'on appelle σk la borne inférieure des σ pour lesquels on a ) γ puisque la fonction de Liouville vérifie l'égalité 1 alors pour que h soit holomorphe sur tout le plan complexe on prend 0 < ν < 2π (voir que eu – 1 ne s'annule pas si ν est défini ainsi) donc : et puisque la fonction h est indépendante de ν alors : En utilisant les formules d'Euler on trouve que : alors en substituant l'expression on aura : et d'un autre côté, d'après la formule des compléments de la fonction gamma, on a pour tout s tel que Re(s) ∈ ]0, 1[. = ε Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction ζ ressemblent asymptotiquement à celles des valeurs propres de matrices aléatoires de l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (GUE).

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